【全球报资讯】实变函数 复习题

个人图书馆-当以读书通世事   2023-06-10 10:52:21

一、可数集的判定

(1) 自然数集、有理数集是可数集;(2)可数个可数集的并集是可数集;(3)有限个可数集的笛卡尔乘积是可数集;(4)不可数集是存在的,直线上任何区间不可数.

例1.直线上任何非空的开集是可数集吗?


【资料图】

不是。在实数直线上,存在许多非空的开集是不可数的。例如,开区间 是一个非空的开集,但其元素个数是连续的实数个,是不可数的。

例2. 任何一个区间中无理数全体可数吗?

不是

例3. 系数为有理数的多项式全体是一个可数集.

例4. 直线上互不相交的开区间族至多可数个.

开区间的长度大于 0, 故必含有有理数, 在每一个开区间内取出一个有理数. 因为开区间互不相交, 所以取出的有理数都不相等, 从而这些有理数构成 的一个子集. 又 是可列集, 故这样的开区间至多有可列个.

例5. 直线上任何一个单调函数的不连续点至多可数个.

二、外测度、测度及其基本性质

(1)理解外测度概念,会计算简单集合的外测度.(2)理解可测集、测度概念,会计算简单集合的测度.(3)会利用可测集定义、性质证明集合的可测性.

例6.从外测度定义出发,计算 中下面集合的外测度

例7.问 中集 是否可测?若可测,计算其测度

例8.设 ,并且对任意 0" data-formula-type="inline-equation">,存在开集 ,使得 ,证明 可测

三、积分论(Lebesgue积分概念与性质)

例9. 几乎处处相等的可测函数L-可积性相同吗?

相同

例10. 常函数一定是Lebesgue可积函数吗?

不一定

例11. 测度有限集上有界可测函数Lebesgue可积吗?

例12. 何时在 上Lebesgue可积? 何时在 上 Lebesgue可积?

, 1" data-formula-type="inline-equation">

例13. 在 上Lebesgue可积吗?函数 呢?

可积,可积

例14.成立吗?

例15.设,其中 ,证明 .

例16.设函数 ,问是否在 上Riemann可积? 是否在[0,1] 上Lebesgue可积?若可积求出积分值.

例17. 设 ,令, 证明 在 内可导,并且可在积分号下求导.

例18. 计算极限,并说明理由,其中 为一给定常数.

例19.设是有界闭区间上的Riemann可积函数列,又设在上一致收敛于函数,证明是上的Riemann可积函数

提示:证明在上有界,并且几乎处处连续。

例20.Lebesgue 积分的本质是什么?

Riemann积分是分割定义域(横着分割),Lebesgue积分是分割值域(竖着分割)。

是的完备化空间

证明 作为 的子空间不是完备的.为此只需证明 不是闭子空间.

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